正切公式(拉马努金笔记2，调和级数和反正切函数有关的和的公式)

第2章相当初级，但是其中一些公式非常有趣，表明Ramanujan的聪明才智。 Ramanujan在本章中提供的证据比后面的大部分文章都多。

本文找到的许多公式都是有限和之间的恒等式。

其中许多身份涉及arctan x，并且由于此功能在续集中频繁出现，我们将A（x）= arctan x。 将假定-π/ 2 <A（x）<π/ 2。 关于此函数的拉马努金定理中的几个定理来自基本等式：

条目1、2、4、5和6涉及函数：

其中a是大于1的整数。拉马努金继续研究这个函数。

条目1.每个正整数n，有

证明略。

条目2.每个正整数n，有

证明略。

条目3.每个正整数n，有

证明略。

条目4.每个正整数n，有

证明略。

条目5.每个正整数n，有

证明略。

条目6.让k和n非负整数而且定义A，如下，然后如果r是正整数，有以下公式：（有些损坏，原图如此。）

证明略。

条目7.让n>0而且r是自然数，有公式：

证明略。

条目8、9、10暂时没找见，先放放。

条目11.让x和a为以实数，有

这只是条目相关的公式。随后我要加入，拉马努金发现的更多的例子公式，来丰富这一切。

而证明过程就免了吧，我们都是懒人，只看结果，不看过程。