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正切公式(拉马努金笔记2,调和级数和反正切函数有关的和的公式)

wwwnzt88com2年前 (2022-12-20)干货58

第2章相当初级,但是其中一些公式非常有趣,表明Ramanujan的聪明才智。 Ramanujan在本章中提供的证据比后面的大部分文章都多。

本文找到的许多公式都是有限和之间的恒等式。

其中许多身份涉及arctan x,并且由于此功能在续集中频繁出现,我们将A(x)= arctan x。 将假定-π/ 2 <A(x)<π/ 2。 关于此函数的拉马努金定理中的几个定理来自基本等式:

条目1、2、4、5和6涉及函数:

其中a是大于1的整数。拉马努金继续研究这个函数。

条目1.每个正整数n,有

证明略。

条目2.每个正整数n,有

证明略。

条目3.每个正整数n,有

证明略。

条目4.每个正整数n,有

证明略。

条目5.每个正整数n,有

证明略。

条目6.让k和n非负整数而且定义A,如下,然后如果r是正整数,有以下公式:(有些损坏,原图如此。)

证明略。

条目7.让n>0而且r是自然数,有公式:

证明略。

条目8、9、10暂时没找见,先放放。

条目11.让x和a为以实数,有

这只是条目相关的公式。随后我要加入,拉马努金发现的更多的例子公式,来丰富这一切。

而证明过程就免了吧,我们都是懒人,只看结果,不看过程。

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