立方差公式(中考必备百宝箱，初中数学知识点总结，中考满分必备，满满的干货)
一 、公式及其变式
1 、(x a)(x b)=x² (a b)x ab
2、a² b²=(a b)²-2ab=(a-b)² 2ab=((a b)² (a-b)²)/2
ab=((a b)²-(a-b)²)/4=((a b)²-(a² b²))/2=((a² b²)-(a-b)²)/2
3、和的立方公式： (a b)³=a³ 3a²b 3ab² b³ 差的立方公式： (a-b)³=a³-3a²b 3ab²-b³
4、立方和公式： a³ b³=(a b)(a²-ab b²) 变式： a³ b³=(a b)(a b)² -3ab
5、立方差公式： a³-b³=(a-b)(a² ab b²) 变式： a³ -b³=(a-b)(a-b)² 3ab
注意区别： (a b c)²=a² b² c² 2ab 2bc 2ac
(a b)² (b c)² (a c)²=2a² 2b² 2c² 2ab 2bc 2ac
6 、a³ b³ c³-3abc=(a b c)(a² b² c²-ab-bc-ac)==(a b c)((a-b)² (b-c)² (c-a)²)/2
二、 数学计算中的常用结论
1、1 2 3 . · · n=n(n 1)/2
2 、2 4 6 … 2n=n(n 1)
3 、1 3 5 7 … (2n- 1)=n²
4、1² 2² 3² 4² ...... n²=n(n 1)(2n 1)/6
5、1³ 2³ 3³ 4³ ...... n³=n²(n 1)²/4
6、1*2 2*3 3*4 4*5 ...... n*(n 1)=n(n 1)(n 2)/3
7、k/(n(n k))=1/n-1/(n k)
8、(a b)/(ab)=1/a-1/b
三、 常见几何基本图形及结论：
1 、∠ADC=∠A ∠B ∠C
2 、BD,CD分别平分∠ABC,∠ACB,则∠BDC=90° ∠A/2
3、BD,CD分别平分，则∠BDC=90°-∠A/2
4、 BD,CD分别平分∠ABC,∠ACE,则∠BDC=∠A/2
注：2、3、4为内心和旁心的性质之一
5、 BE,CE分别平分∠ABD和∠ACD, 则∠E=(∠A ∠D)/2
6、 在Rt△ABC 中， AB=AC,D为斜边BC 的中点，∠EDF=90°
则：①BE=AF,AE=CF
②DE =DF
③S四边形AEDF=SABC/2
7、正方形ABCD 中， ∠EAF=45°,则BE DF=EF
8、在Rt △ABC 中， AB=AC,∠BAC=90°,∠DAE=45° .则BD² CE²=DE²
9、 在Rt △ABC 中，∠A=90°,D为斜边BC 的中点，且∠EDF=90°,
则BE² CF²=EF²
10、 四边形ABCD 中， AC⊥BD,则AB² CD²=AD² BC²
(特别地，当四边形ABCD为圆内接四边形时有AB² CD²=AD² BC²=4R²)
11、 矩形ABCD及任意 一 点P,都有PA² PC²=PB² PD²
图 1
图2
图3
12 、△ABC 中， ∠B=2∠C,AD平分∠BAC,则AB BD=AC(截长、补短)
13 、△ABC 中， ∠B=2∠C,AD⊥BC,则： AB BD=CD
14、△DAB,△EAC都是等腰直角三角形，①MN⊥BC,则M为DE的中点.
②M为DE 的中点，则MN⊥BC
15 、△ABC, △CDE为正三角形，则①AD=BE;②CM平分∠BMD
16、 正△ABC 中， PC=3,PA=4,PB=5,则∠APC=150°
17 、Rt △ABC 中， ∠BAC=90°,AB=AC,若PC,PA,PB分别为1,2,3,则∠APC=135°
18、 射 影 定 理 ： ①A D ² = B D . C D ,②A B ² = B D . B C ,③A C ² = C D . B C
等积原理： AB ·AC=BC ·AD
19、 三角形角平分线定理： AD平分∠BAC,则BD：CD=AB：AC
20 、CD⊥AB,BE⊥AC,则△ADE∽△ACB
21、△ABC中，AD平分∠BAC,P是AD上的动点，DP的中垂线交BC延长线于点G,直线GP
交AB,AC于E,F,则： △AEF∽△ACB .
22、 等腰直角三角形中的一种几何构造方式，在Rt △ABC 中， AB=AC,CE⊥BE，
构 造 ： 连 AE , 过 A 作 A E 的 垂 线 交 B E 于 F
四、直线及坐标系知识补充
1、两点间的距离公式： A(x1,y1),B(x2,y2),则AB=√((x1-x2)² (y1-y2)²)
2、 中点公式及推论：
A(x1,y1),B(x2,y2)线段AB 中点C(x₀ ,yo),则
x₀=(x1 x2)/2，y₀=(y1 y2)/2
推论1:x2=2x₀- x1 y2=2yo-y1
推 论 2 : 平 行 四 边 形 顶 点 坐 标 计 算 ： A = B D - C , D = A C - B
3、y=kx b(斜截式方程)
①k的几何意义：
②斜率公式： A(x1,y1),B(x2,y2),则
③直线的点斜式方程
经过P0(x0,y0)且斜率为k的直线的方程为：y-yo=k(x-x0)
④直线位置与k的关系：
l1:y=k1x b1，l2:y=k2x b2
⑤点到直线的距离公式
点P(x₀ ,y0)到直线Ax By C=0(直线的一般式方程)的距离
⑥倒角公式：
⑦弦长公式：直线y=kx b与曲线C交于A,B两点，则AB= √(1 k²) ·|x1-x2|
(配合韦达定理使用)
五、三角函数公式补充
1 、sin²α cos²α=1
2 、sin(a β)=sinacosβ cosasinβ，sin(a-β)=sinacosβ-cosasinβ
3 、cos(a β)=cosacosβ-sinasinβ，cos(α-β)=cosαcosβ sinasinβ
5、辅助角公式： asinα bcosβ=√(a² b²)sin(α β)
六、余弦定理及推论：
a²=b² c² -2bccosA
b²=a² c²-2accosB
c²=a² b²-2abcosC
推论：cosA=(b² c²-2bc)/a²
七、三角形的面积及推论
推论：BD：CD=(AB*sin∠1)：(AC*sin∠2)
八 、正弦定理
九、圆中的重要定理与结论
1、相交弦定理： CE ·DE=AE ·BE
2、割线定理： PA ·PB=PC ·PD
3、切割线定理： PA²=PB ·PC
4、弦切角定理∠PAC= ∠ABC
5、托勒密定理 AB ·CD AD ·BC=AC ·BD
6、三角形内切圆的切线长公式
推论：直角三角形内切圆的半径公式
7、 四点共圆的两种判定方式
①∠A=∠DCE或∠A ∠BCD=180°,则A,B,C,D 四点共圆.
②∠A=∠D(注意：对的边都是BC),则A,B,C,D四点共圆.
8 、△ABC 内接于圆O,I为△ABC 内心，则BD=ID
9 、 O 与 H 分 别 是 △ A B C 的 外 心 和 内 心 ， C D ⊥ B C ,则OD∥AH，OD=AH/2
十、 反比例函数的性质
1、SACB=S梯形ABC1D1= S梯形ABC2D2,
2 、AB∥C1D1,AB∥C2D2，(AB∥C1D1∥C2D2)
3、 直线y=kx b与双曲线y=m/x及坐标轴顺次交于A,B,C,D,则AB=CD .
十一、二次函数知识补充(y=αx² bx c)
1、△ABC为直角三角形时， ac=- 1,AB=√Δ/|a|
2、△ABC为直角三角形时，△=4(b² -4ac=4)
3、△ABC为正三角形时，△=12
4、 当∠ACB=120° 时，Δ=4/3
十二、 定值模型
1 、AB=AC,P是BC上一动点，则AP² BP · PC=AB²
2 、AB=AC,P是BC上 一动点，则PD⊥AB,PE⊥AC,则PD PE=CF
3 、AB=AC,P是BC延长线上一动点，则PD⊥AB,PE⊥AC,则PD - PE=CF
4 、P是正△ABC 内任一点，有PD⊥BC,PE⊥AC,PF⊥AB,则PD PE PF=AH .
5、如图，矩形ABCD 中P为AD上一动点， PE⊥AC,PF⊥BD,则PE PF=AH
十三、 三角形的两个重要最值点
1、PA² PB² PC²最小时，P为△ABC的重心 . (注：重心坐标是顶点坐标的平均数)
2、 当PA PB PC最小时， P为△ABC的 费马点，
费马点的定义、位置：
①当三角形有一个内角不小于120°时，该钝角顶点就是三角形的费马点.
②当三角形每一个内角都小于120°时，费马点是三角形内到三边张角相等的点.
( ∠APB=∠BPC=∠APC=120°)
十四、 常见的最值几何模型
1 、A为圆O上的动点，则PAmin=PA1,PAmax=PA2
2、A,B在直线l外，P在直线l上，求(PA PB)min ?
①(PA PB) min = AB
②(PA PB)min =A'B
3、A,B在直线l外，P在直线l上，求
①|PA-PB|max = AB
②|PA-PB| max = A'B
