椭圆的标准方程(椭圆形平面图形的施工放线方法)
椭圆形平面图形的建筑物具有平面布局较为紧凑、并且富有动态感等优点，多用于公共建筑，尤其在体育性建筑中使用较多。比如，在椭圆形的体育馆中，观众席能获得良好的视觉质量，各个方位的席位都具有良好的清晰度。
椭圆形平面曲线的数学方程式
根据数学定义可知：平面内到两定点F1、F2的距离之和等于常数的点的轨迹叫做椭圆。两个定点F1、F2叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距， 焦距等于2C， 即F1F2=2C(c>0)。
如图所示，设点M(x、y)是椭圆上任意一点，则MF1与MF2，两段距离之和为一定值设为2a，即MF1 MF2=2a(a>0)
在三角形MF1F2中，MF1 MF2>F1F2，(三角形两边之和大于第三边)，即2a>2c，a>c，取过焦点F1，F2的直线为x轴，线段F1，F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系，设椭圆上任一点M点的坐标为(x，y)，MF1与MF2的距离，根据勾股定理，用坐标值来表示：
（MF1）^2=(x c)^2 y^2,（MF2）^2=(x-c)^2 y^2，
根据椭圆定义: MF1 MF2=2a
因为a>c，可设b^2=a^2-c^2
则上述方程式为: x^2/a^2 y^2/b^2=1,就可得到椭圆的标准方程式：
这个方程式所表示的椭圆的焦点在x轴上，焦点坐标为F1(-C，0)、F(c，0)，这里c²=a²-b²。椭圆对称于x轴，在x轴方向称为长轴，其值为2a，在y轴方向称为短轴，其值为2b，与x、y轴的交点A1、A2、B1，B2称为椭圆的四个顶点。
如果椭圆的焦点在y轴上，如图2-7所示，只要将上面方程式中的x、y互换后就可得到它的标准方程式：
y^2/a^2 x^2/b^2=1
在椭圆方程式中，当a、b值一定时，只要知道变量x和其中一个数值，便可求得椭圆曲线上的任何一个数值，即
y=±b/a* a²-x²
或x=±a/b*(b²-x²）½
椭圆形平面曲线的作图方法
椭圆形平面曲线的作图方法，常用的有以下几种。
一、同心圆法
当已知椭圆的长轴(2a)和短轴(2b)的尺寸后，可用同心圆法求作其椭圆曲线。
作图步骤：
1.作椭圆的长轴AB和短轴CD，如图
2.如图所示：
(1)分别以AB和CD为直径作大小两同心圆。
(2)等分两同心圆为若干份，例如十二等分。
3.如图所示：
(1)从大圆各等分点作竖向直线，与过小圆各对应等分点作的水平线相交，得椭圆曲线的各点。
(2)将其各点顺滑连接起来，即为所求作的椭圆曲线。
同心圆作椭圆
二、四心圆法
当已知椭圆的长轴(2a)和短轴(2b)的尺寸后，可用四心圆法求作其近似的椭圆曲线。作图步骤：
1.作椭圆的长轴AB和短轴CD
2.如图所示：
(1)连接AC。
(2)以0为圆心，OA为半径作圆弧，交CD延长线于E点。
(3)以C为圆心，CE为半径作圆弧，交AC于F点。
(4)作AF的垂直平分线，交长轴于O1，交短轴〈或其延长线)于O2。
(5)在OB轴上截取OO₃=OO₁，在OC轴上截取OO4= OO2
3.如图：
(1)分别以O₁、O2、O₃、O4为圆心，以O₁ A、O2C、O₃B、O4D为半径作圆弧。
(2)使各弧段在O2O₁， O2 O₃和O4 O₁， O4 O₃的延长线上的G、I、H、J四点处相交，则所得的封闭曲线即为所要求作的近似的椭圆曲线。
四心圆作椭圆
椭圆形平面曲线的施工放线
椭圆形平面曲线的现场施工放线，其方法也是很多的，常用的方法有直接拉线法(即连续运动法)，几何作图法和坐标计算法等，现将有关放线方法分述如下。
一、直接拉线法
这种放线方法在椭圆形平面尺寸较小时常采用，这种放线方法操作比较简单，放线速度快，只要操作认真，可以获得一定的精确度。
某纪念碑建筑的外围围墙形状为一椭圆形，椭圆长轴的设计尺寸α=15m，短轴的设计尺寸b=9m。试用直接拉线法进行现场施工放线。
(一)放线步骤
1.根据总平面设计图，确定纪念碑平面图形中心点位置和主轴线(即椭圆的短轴)方向，并正确放出长轴位置。
2.根据已知的长、短轴设计参数a=15m，6=9m，定出椭圆形平面的四个顶点位置，即A(-15，0)、B(15，0)、C(0，9)、D(0，-9)。并计算出椭圆的焦距和确定焦点位置。焦距c=12m
3.在焦点F1和F2处建立较为稳固的木桩或水泥桩。
4.找细铁丝一根，其长度等于F1c F2c（等于2a），两端固定于F1，F2上，然后用圆的铁棍或木棍套住细铁丝后在长轴两边画曲线，即可得到一条符合设计要求的椭圆形曲线，如图2-16所示。
(二)用直接拉线法作椭圆形平面曲线的现场施工放线，应注意以下问题:
1.两焦点上设置的桩，位置应正确，设置应稳固，施工中应妥善保护。
2.所用拉线材料不应有伸缩性，描画曲线过程中，应始终拉紧，不应有时紧时松的现象。
三、坐标计算法
当椭圆形平面曲线的尺寸较大，或是不能采用直接拉线法进行施工放线时，常采用坐标计算法进行现场施工放线。计算方法和圆弧曲线的坐标计算法相同。通过坐标计算，最后列成表格，供现场放线人员使用，施工操作较简单，能获得较好的精度。
某纪念碑建筑的外围围墙形状为一椭圆形，椭圆长轴的设计尺寸a=15m，短轴的设计尺寸b=9m。试采用坐标计算法进行椭圆形平面的施工放线。
(一)坐标计算
1.根据已知条件，椭圆长轴的设计尺寸a=15m，短轴设计尺寸b=9m，列出该椭圆的标准方程式x^2/15^2 y^2/9^2=1
2.把方程式变为y=±9/15（15^2-x^2）½
3.将x=0、1、2……15各点代入方程式，求出相应的y值，最后将计算结果列成表格，注：y值均为正负对称值。
(二)施工放线
1.根据总平面设计，确定纪念碑椭圆形平面的中心点位置和主轴线(短轴)方位。
2.以主轴线为y轴，以中心点为原点，建立直角坐标，x轴即为椭圆形平面的长轴线。
3.在×轴上分别取x=1、2、3......15各点，并通过上述各点作垂直线，根据表2-2所列数值，分别量取各点y值，y0=±9；y1=±8.98；y2=±7.92......y15=0，
4.根据椭圆曲线的对称原理，可确定左侧半边，即x=0-15范围的各点y值。
5.将各点比较顺滑的连接起来，即可得到一条符合设计要求的椭圆曲线(即围墙中心线)。
当x轴上取的点数越多，所求作的椭圆曲线也越顺滑，越精确。
椭圆形建筑
