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圆锥表面积公式(初中物理：体积公式及测量（量筒、量杯）)

wwwnzt88com2年前 (2022-12-31)干货78

上篇文章里，我们讲解了一些特殊测量方法。本文我们来讲一讲体积的特殊测量方法。这里所说的特殊方法主要是针对形状不规则的物体的体积进行测量，所要用到的器材就是量筒和量杯。

我们先来回顾一下形状规则的物体体积怎么计算，我们在小学和初中阶段学习的规则物体无非是正方体、长方体、圆柱体、圆锥体这四个，它们的体积也都是通过数学公式进行计算。

为什么还要在这里花费篇幅来讲解公式，就是想从另外一个角度来阐述一下公式的由来。其实就是向大家渗透积分的思想，积分思想说简单点无非就是累加量、叠加量的思想。

无论是积分还是微分，都是有方向性的，微分是表示某一方向上的变化率的，而积分则是表示某一方向上的累加量。

数学上说，点动成线、线动成面，面动成体。平移：就是量的累加结果，等于本身×平移距离。点动成线，其实长度就是点的累加量，点无大小，所以长度就是平移的距离；线动成面，面积就是线的累加量，所以面积就是线（本身）×平移距离，也即是长×宽；面动成体，也就是说，面的累加就形成了正方体、长方体、圆柱体、圆锥体等。

正方体

正方体是特殊的长方体，正方体的体积为棱长（a）乘棱长（a）乘棱长（a），也就是棱长（a）的立方。这里给大家解释一些，边长一般用作立体图形，棱长一般用作平面图形。

面动成体，体积就是面的累加量，所以正方体可以看成是一个“正方形”在竖直方向（Z轴）上累加了一个高度，正方体可以看成是无数个正方形纸片在竖直方向上叠起来而形成的，所以正方体的体积为“底面积×高”，即棱长的立方。

长方体

长方体的体积为长（a）乘宽（b）乘高（h），公式为：

同理，长方体也可以看成是底面一个“长方形”在竖直方向（Z轴）上累加了一个高度，长方体可以看成无数个长方形纸片在竖直方向上叠起来而形成的，所以长方体的体积也是“底面积×高”，即长×宽×高。

圆柱体

圆柱体的体积为底面积（S）乘以高（h），因为圆柱体的上下面为圆形，圆的半径为R，则体积公式为：

这个公式的由来还是非常有意思的，利用的思想依然是数学中的微分思想，然后进行积分，就可把圆柱体，当成正方体的体积进行计算啦。

这是分割思想，即微分思想，从积分思想出发也一样。圆柱体可以看成一个“圆”形纸片在Z轴上叠起来而形成的，因此圆柱体的体积即为“底面积×高”，即πR²h。

从专业的角度，圆柱体体积的公式怎么得到的呢？，其实就是积分运算：（看不懂的，这一段自动忽略哈，ー(￣～￣)ξ）

圆锥体

圆锥体的体积为三分之一底面积乘以高，体积公式为：

这个公式怎么得到的呢？小学中给出了一种特别好的思维方式，分别做出一个底面积相同、高相同的圆柱形容器和圆锥形容器，在圆锥形容器中装满水，再倒入圆柱形容器中，发现刚好需要三次能把圆柱形容器给加满。因此，对于等底面积、等高的圆柱体和圆锥体，圆柱体的体积是圆锥体体积的3倍。

从数学积分的角度，圆锥体也是“圆”在竖直方向（Z轴）上的叠加，只不过区别于圆柱体的是，圆锥体中“圆”的累加，是大小不同的圆，越向Z轴正方向，圆的半径越小。

如下图所示，圆锥体的正视图是三角形，半径实际上就是这个三角形的底的一半，我们把这个三角形沿Z轴分开，分成了两个直角三角形，直角三角形的斜边与Z轴的夹角设为θ，则tanθ=R/h，即R=h×tanθ。

此时，仍然利用数学积分知识，可以计算出圆锥体的体积公式为：

从物理思维的角度来分析这个问题，则可以把圆锥体看成用直角三角形旋转形成的旋转体，则体积等于直角三角形重心走过的距离乘以直角三角形的面积。如下图，以R和h所在直线为x、y轴建立直角坐标系，则重心的坐标点为（R/3，h/3）。

重心所走距离是半径为R/3的圆的周长，即为s=C=2π×（R/3），在乘以直角三角形的面积（hr/2）即为圆锥体的体积。

以上就是我们对于一些规则物体体积的计算公式介绍，那么对于一些形状不规则的物体，我们该怎么样知道它们的体积大小呢？这就需要我们借助器材来进行测量啦。下面我们就来详细介绍一下测量体积的工具——量筒和量杯。

虽然量筒和量杯都是测量体积的工具，但是从实物上我们就非常容易看出两者的区别。从形状上来看：量筒是粗细均匀，而量杯是上粗下细；从刻度上来看：量筒的刻度均匀，量杯的刻度上密下疏。从用途上来看：量杯适合粗略测量体积大的物体，量筒适合测量体积小的物体。

为什么量筒和量杯的刻度线不同呢？我们先从它们测量体积的原理说起。其实这里面利用了等效替代法，固体（不吸水）沉入液体中会排出与固体体积相同的液体。因此将固体放入盛有适量水的量筒（量杯）中，固体自身体积会占据原来量筒（量杯）中水的体积，那么这部分水自然会沿着内壁上升。造成水的体积增加的表面现象，其实增加的体积就是固体的体积。

正因为量筒的形状粗细均匀，因此其刻度也是均匀的，相同的体积就会有相同的高度；而量杯的形状是上粗下细，因此刻度也是上密下疏的，相同的体积，因为下面细因此升高的高度大，而上面粗因此升高的高度小。

如图，同样是V=10ml，根据公式V=Sh，则h=V/S，越往上，底面积越大，则同样体积对应的高度就越来越小，因此就呈现为刻度线上密下疏了。也正是因为这个原因，用量杯测量体积较大的物体时，液面越往上升，液面的面积越大，读数误差也越大；而量筒无论测量物体的体积大小，读数误差基本是一样的。因此，在物理中，我们重点学习的是量筒的使用。

一、测液体体积

这个没有什么难度，将待测液体沿内壁缓慢倒入量筒中，然后将量筒放在水平桌面上，进行读数。

需要大家注意的是，量筒中液体的液面并不是水平的。液体可分为两种，一种叫做浸润液体，一种是不浸润液体。

浸润液体能跟容器壁很好地吸附，像水和酒精就是浸润液体，因为吸附好，所以液体与容器接触面总是比中间液面要高，我们看到的液面就是凹液面了。对于凹液面，读数时，视线应与凹液面最低处齐平。

不浸润液体，如水银（汞液），基本不会吸附在容器壁，它在容器中存在形式取决于其受力，由于表面张力使得其中间高，周围低，就是我们看到的凸液面。对于凸液面，在读数时，视线应于凸液面最高处齐平。

读数时，视线应也液面齐平，如果俯视读数或者仰视读数就会带来读数误差。原理咱们讲解一下，如下图，很明显可以看出，如果读数时是仰视读数，那么读取的体积与真实值相比偏小，如果读数时是俯视读数，那么读取的体积与真实值相比偏大。

二、测固体体积

1、下沉的固体

方法：排水法

步骤：

（1）现在量筒中倒入适量的水，读出水的体积为V₁

（2）用细线拴好固体，慢慢浸没在量筒里的水中，读出水和固体的总体积为V₂