injective(injective数学)

3.2领域、范围、仁和反算子

It也许是实际情形操作员总体上没有被定义例如X.，在锻炼您请求显示那综合化操作员的3.2

公式5从C一定([0,1])入L(0,1)，其中两空间用L(0,1)准则(即我们装备考虑C([0,1])作为子空间L(0,1))。换句话说我们定义了I[f]通过使用在L.的准则是连续的作用的，但是我们考虑连续性的问题。我们叫操作员被定义它的领域的这个子空间，并且为一个一般线性操作符A我们写它作为D(A)。

IfA：X-Y，A领域的图象在A的应用之下然后叫A的范围，书面R(A)：

This说不定是Y一个适当的子空间，在综合化操作员的例子中，范围

我们可能一般来说写，或许uninstructively，

一条公式在X一个线性子空间定义的A有界线性算子可以被延伸是有界线性算子总体上被定义X.(这不是显然的。我们仍然学习一个相关结果，Hahn-Banach定理，在下个章节。)因此它是有些人为的制约定义域有界线性算子的，并且在其余我们的讨论我们将假设那D(A)=X。然而，当我们在本章的最后的部分来谈论无边际的操作员，领域将构成操作员的定义的内在部分。与矩阵的理论的As，一个一般线性操作符的反面的概念是非常有用的。我们说A是可转位的，如果等式Ax=y有每y的R一种独特的解答(A)(即，如果A单射)。在这种情况下我们定义了A，由Ay=x.的A反面。如果A是线性的，并且A存在然后它太是线性的(参见锻炼3.3)。

Another重要概念是A，Ker(A)，A寄发到零D的所有元素的空间仁(A)：Ker(A)={uD(A)：Au=0}。A的invertibility与它的lernel的琐事是等效的。

Lemma3.4A是可转位iffKer(a)={0}。

Proof：假设A是可转位的，然后等式Ax=y有所有y的R(A)一种独特的解答。然而，如果Ker(A)包含某一非零元素z然后A(也x+z)=y，因此Ker(A)必须是{0}。相反地，如果A为某一yR(A)不是可转位的然后有二种分明解答，x和x，Ax=y和如此A(x-x)=0，给Ker(A)的一个非零元素。invertibility的This描述特性将证明有用以后。

入射＝单射＝injective＝monomorphism＝像中每个元素的原像只有一个，

f为入射＝G2中每个元素的原像至多只有一个＝G1中不能有两个不同的元素被映到G2中的同一个元素;

Ker＝kernel＝核＝G2中的幺元e'的原像，

（Ker(f)={e}）＝G2中的幺元e'的原像只有一个e（因为e一定被映到e'）＝G1中不能有两个不同的元素被映到G2中的幺元e'