等边三角形的高(帕斯卡三角背后的数学秘密)

我们中学几何里所学的杨辉三角，国际上称为"帕斯卡三角"，阐明了代数中二项式展开的系数规律,是帕斯卡十三岁时发现的一条数学定理。但他的发现比杨辉要迟393年，比贾宪迟600年。

帕斯卡英年早逝后，但留给了人们极为宝贵的精神财富。在他撰写的哲学名著《思想录》 里，帕斯卡留给世人一句名言："人只不过是一根芦苇， 是自然界最脆弱的东西，但他是一根有思想的芦苇。"

1. 帕斯卡三角数字特性

在帕斯卡三角（杨辉三角）每横行从右到左或左到右的第4项找到的这个数被称为三角形数(Triangular numbers), 因为这个数目的点或圆在等距离的排列下可以形成一个等边三角形, 比如 10个点可以组成一个等边三角形，因此10是一个三角形数.

继续往下一个斜对角线上(每横行从右到左或左到右的第4项)的所有数字被称为四面体数(Tetrahedral Number), 该数字对应可以排成底为三角形的四面体的数.

如下图球体所组成的五层高的正四面锥体:

2.游戏与最短距离

游戏厅的弹珠抽奖游戏对很多人来说一定不陌生，我们把其模型剥离出来便是：从A口投入一个弹珠，弹珠会在重力作用下最终落在最下方的弹珠槽里。不同的槽对应不同的奖品。

这其实便是一个蕴含了帕斯卡三角的概率问题。我们不妨画一张更抽象的的图来分析一下弹珠的可能行走路径：

本图中黑色的线即为弹珠的行走路径。由于只有一个入口，所以弹珠经过此入口是必然事件，可能性为1。就在弹珠遇到第一个分叉路口时, 弹珠往左右两边掉落的可能性相等, 因此若从入口投入2枚弹珠, 两个分叉所经过的弹珠数量的数学期望值都为1 （简而言之，就是两枚弹珠应该一左一右）。

同理，这样的分叉一直持续下去，经过各个分叉的弹珠数量的数学期望值恰好符合帕斯卡三角的分布：每一行左右两边都为1，越往中间越高。这样一来，你是否理解了游戏厅为何在设置奖项时使得弹珠槽越靠边，其对应的奖项价值越高呢？

在国际象棋棋盘上,"车"从棋盘的一角到对角线上另一角的最短路径共有多少条?就像给街道交点标上数字一样,把棋盘上所有格子也都填上数字,于是问题就迎刃而解了."车"只能沿着右上方向朝另一个角的目标移动,便可以求出共有多少条最短路径.如图所示:

把整个棋盘正确标号,根据所标的数字,一眼就能看出在棋盘上从一个角出发到任意一角,有多少条最短路线.右上角的数字是3432,所以"车"从一角到对角线的另一角的最短路径共有3432条. 让我们把棋盘沿着左上至右下的对角线一截为二,使其成为数的阵列.

此三角形上的数字与著名的帕斯卡三角(杨辉三角）形)的数字是相同的,当然,计算街道路径条数的算法,恰恰就是构造怕斯卡三角所依据的过程.这种同构现象使得怕斯卡三角成为无数有趣特性的不竭的源泉.

异曲同工之妙，根据帕斯卡三角形制成的一种装置:在一快倾斜的板上,成百个小球滚过木钉进入各格的底部.全部小球呈现出一条钟形的二项式分布曲线,因为到达每个底部孔位的最短路径的条数就是二项式展开的系数.

3. 帕斯卡三角与开方

帕斯卡三角（杨辉三角）的出现是为了方便人们开方。其实，与其说帕斯卡三角（杨辉三角）用作开方，不如说二项式系数用于开方更为直接。无论是2次方，3次方还是高次方，熟悉二项式系数及"改正误差"思想都能让我们做到手动开方。在此我们举例说明：

对18开平方，即求18的算术平方根的近似值。根据帕斯卡三角（杨辉三角）可写出（a b）²=a² 2ab b²，若a远大于b，则a² 2ab≈（a b）²。已知18=42 2，将4² 2与a² 2ab对应比较可知，a=4，b=0.25，则18=4² 2≈（4 0.25）²，即18的算术平方根约为4.25。

例： 求1331的立方根

设1331=（a b）³，a相比b来说为主要的值，b为修正值，也就是误差（可正可负）。首先我们需要估测a的值，由于10³<1331<100³，我们可以确定1331的立方根为两位数，不妨设a=10（a可能远远大于10，不过还有修正值来改正我们的误差，所以不必担心），由于（a b）³=a³ 3ab 3ab² b³，我们暂且忽略掉后面的项，只注重前两项（比较基于设定a才是主要的值），此时等式变成a³ 3a²b=1331，带入a=10即可得到第一个b值，此时把a替换为a b重复以上过程，若结果正好为1331，则a b即为立方根。若结果不为1331，则一定会有一个新的误差值b出现，算上误差值再重复此过程则可得到最终结果。此过程思路其实和二分查找有些相似，都是通过算误差逐步趋近精确值。

4.其他妙用

如果我们把帕斯卡三角再放大，如果把帕斯卡三角（杨辉三角）内的偶数用点表示，奇数用空格表示，结果将成为一个极为复杂，以不同大小重复出现相同模式的分形图案。

有些研究人员在1986年开发出一种微米等级的金属丝密封垫，外观几乎跟奇数位置留空的帕斯卡三角一样。科学家们发现，这个密封垫在磁场中具有不平常的超导体特性。

可别小看帕斯卡三角（杨辉三角），它在世界数学史中扮演着非常重要的角色呢。北宋的贾宪用它手算高次方根；元朝的朱世杰用它研究高阶等差级数（垛积术）；牛顿用它算微积分；华罗庚思路更广，差分方程、无穷级数都谈到了。