三角形五心及其性质(三角形五心及其性质高中)

<h2>三角形五心的五心的性质

三角形的五心有很多重要的性质，它们之间也有密切的联系。 例如：

)由三角形重心和三顶点连接线构成的三个三角形的面积相等；

)2)三角形外心至三顶点的距离相等

)3)三角形垂心和三顶点四点中，任一点为由其余三点构成的三角形垂心。

(4)三角形心、旁心至三边距离相等

)5)三角形垂直心垂直于三角形心，或三角形心为其邻三角形垂线心；

)三角形的外心是其中点三角形的垂心

(7)三角形的重心也是其中点的三角形的重心

)三角形中点三角形的外心也是该垂直三角形的外心。

)三角形任一顶点到垂心的距离等于外心到对边距离的两倍。

介绍更详细的性质。 三角形三边的高交点叫三角形垂线。 三角形的垂线具有令ABC三个高度为AD、BE、CF，其中d、e、f为垂足，垂线为h的有趣性质。

性质1关于垂心h三边的对称点，均在ABC的外接圆上。

性质2ABC有六组四点共圆，三组(每组四个)相似直角三角形，且ahhd=bhhe=chhf。

性质3H、a、b、c 4点中的任意一个是以剩下的3点为顶点的三角形的垂线.

性质4ABC、ABH、BCH、ACH的外接圆为等圆。

性质5在非直角三角形中，超过h的直线为AB，有AC的直线分别为p、q时，ab/aptanbac/AQ tanc=tanatanbtanc。

性质6三角形任一顶点到垂心的距离等于外心到对边距离的两倍。

设性质7o、h分别为ABC的外心和垂线，则为BAO=HAC、ABH=OBC、BCO=HCA。

性质8锐角三角形垂线至三顶点的距离之和等于内切圆与外切圆半径之和的两倍。

性质9锐角三角形的垂直心是垂直三角形的心； 在锐角三角形的内接三角形(顶点位于原始三角形的边上)中，垂直三角形的周长最短。 三角形的内切圆的中心简称为三角形的内心，也就是三角形的三个角平分线的交点。 内心有以下美丽的性质。

设性质1I为ABC的内心，则足以使I为其内心的不必要条件是到ABC三边的距离相等。

设性质2I为ABC内心，BIC=90 1/2A，同样有两个公式； 反之亦然。

设性质3I为ABC内的一点，有AI的直线与ABC相交的外接圆为d。 I为ABC的心的充足条件为ID=DB=DC。

设性质4I为ABC的内心，BC=a、AC=b、AB=c、I在BC、AC、AB上的投影分别为d、e、f； 设内切圆的半径为r，p=(ABC )，则)1) s ) SABC=pr； )2) r=2SABC/a b c； )3) AE=AF=p-a，BD=BF=p-b，CE=CD=p-c； )4) abcr=pAIBICI。

性质5三角形的一内角平分线和其外接圆的交点到另外两个顶点的距离等于到心的距离； 相反，如果I在ABC的A平分线ad(d在ABC的外接圆上)上且DI=DB，则I为ABC的中心。

设性质6I为ABC的内心，BC=a、AC=b、AB=c、A的二等分线设BC为k，交ABC的外接圆为d，则==。 三角形外接圆的中心简称三角形外心。 也就是三角形三边垂线的交点。 外心有以下美丽的性质。

性质1三角形外心到三顶点的距离相等，反之亦然。

设性质2o为ABC的外心，则为BOC=2A或BOC=360-2A (。

设性质3三角形的三边长度，外接圆的半径、面积分别为a、b、c、r、S，则R=abc/4S。

性质4 ) ABC外心o的任意一条直线与边AB、AC (或延长线)分别在p、q两点相交时，为ab/APS in2BAC/aqs in 2c=sin2asin2bsin 2c。

性质5锐角三角形的外心到三边的距离之和等于内切圆和外切圆的半径之和。 设性质1g为ABC的重心，设ABC内点q在边BC、CA、AB的投影分别为d、e、f，则q和g重叠时qdqeqf最大。

设性质2g为ABC的重心，AG、BG、CG的延长线在ABC的三边在d、e、f，则SAGF=SBGD=SCGE。

设性质3g为ABC的重心，则SABG=SBCG=SACG=SABC。 1、三角形的一个内角平分线和另外两个顶点的外角平分线相交于一点。 这一点就是三角形的旁心。

2、每个三角形有三颗胁心。

3、从旁边的心到三边的距离相等。

<h2>三角形的五心分别是什么？

三角形的重心、外心、垂心、心和旁心被称为三角形五心，三角形五心规律是指三角形的重心

（一），三角重心重心定律：三角形的三条边的中线交于一点，该点叫作三角形的重心．三线交一可用燕尾定理证明，十分简单。

重心的性质：

1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。

2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。

3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。

4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其重心坐标为[(X1+X2+X3)/3],[Y1+Y2+Y3/3)]。

（二），三角形外心定律：三角形的三条边的垂直平分线交于一点。该点叫做三角形的外心。即三角形为切圆的圆心．注意到外心到三角形的三个顶点距离相等，结合垂直平分线定义，外心定理其实极好证。

计算外心的重心坐标应先计算下列临时变量：d1,d2,d3分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的点乘。c1=d2d3，c2=d1d3，c3=d1d2；c=c1+c2+c3。重心坐标：((c2+c3)/2c，(c1+c3)/2c，(c1+c2)/2c)。

（三），三角形垂心定律：三角形的三条高交于一点，该点叫做三角形的垂心。

垂心的性质：

1.三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点可以得到6个四点圆。

2.垂心外心内心三心共线。

3.垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的2倍。

４此点分每条高线的两部分乘积

已知：ΔABC中，AD、BE是两条高，AD、BE交于点连接CO并延长交AB于点F求证：CF⊥AB

连接DE∵∠ADB=∠AEB=90度∴A、B、D、E四点共圆∴∠ADE=∠ABE

∵∠EAO=∠DAC∠AEO=∠ADC∴ΔAEO∽ΔADC

∴AE/AO=AD/AC∴ΔEAD∽ΔOAC∴∠ACF=∠ADE=∠ABE

又∵∠ABE+∠BAC=90度∴∠ACF+∠BAC=90度∴CF⊥AB

因此，垂心定理成立！

（四），三角形的内心定律：三角形的三条内角平分线交于一点，该点叫做三角形的内心．即三角形内切圆的圆心。注意到内心到三边距离相等（为内切圆半径），内心定理其实极易证。

若三边分别为l1，l2，l3，周长为p，则内心的重心坐标为(l1/p,l2/p,l3/p)。

直角三角形的内心到边的距离等于两直角边的和减去斜边的差的二分之一。

双曲线上任一支上一点与两焦点组成的三角形的内心在实轴的射影为对应支的顶点。

（五），三角形旁心定律：三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点。三角形的旁切圆（与三角形的一边和其他两边的延长线相切的圆）的圆心叫做旁心

每个三角形都有三个旁心。

它到三边的距离相等。

如图，点M就是△ABC的一个旁心。三角形任意两角的外角平分线和第三个角的内角平分线的交点。一个三角形有三个旁心，而且一定在三角形外。

附：三角形的中心：只有正三角形才有中心,这时重心,内心.外心,垂心,四心合一.

三角形五心歌（重外垂内旁）

三角形有五颗心；重外垂内和旁心，五心性质很重要，认真掌握莫记混．

三条中线定相交，交点位置真奇巧，交点命名为“重心”，重心性质要明了，

重心分割中线段，数段之比听分晓；长短之比二比一，灵活运用掌握好．

三角形有六元素，三个内角有三边．作三边的中垂线，三线相交共一点．

此点定义为外心，用它可作外接圆．内心外心莫记混，内切外接是关键．

三角形上作三高，三高必于垂心交．高线分割三角形，出现直角三对整，

直角三角形有十二，构成六对相似形，四点共圆图中有，细心分析可找清.

三角对应三顶点，角角都有平分线，三线相交定共点，叫做“内心”有根源；

点至三边均等距，可作三角形内切圆，此圆圆心称“内心”如此定义理当然．